2007年底，我刚从温州中学调入市北中学，面对不一样的学生和学校文化，我困惑于：数学课该怎么上？学生的个性化培育从哪里入手？直到看到沈南鹏（携程、如家、红杉资本创始人，曾经的全国数学竞赛一等奖得主）的这句话“创业就像做数学题，从最简单的开始”后，顿觉豁然开朗。

从简单开始，是一种数学思维习惯

正如笛卡儿所说:“按次序进行我的思考，从最简单、最容易认识的对象开始，一点一点逐步上升，直到认识最复杂的对象； 就连那些本来没有先后关系的东西，也给它们设定一个次序。”

会解难题是数学优秀生的一个重要标志。解题就是在困难中找出路，其价值往往不仅仅是答案本身 , 而且在于弄清“是怎样想到这个解法的 。”

从简单开始，就是一种探索“怎样想到解法”的策略。就是在遇到难以入手的问题时，把问题做适当的转换，造出一个或几个比原问题简单的或已经熟悉易于求解的新问题，再通过对新问题的考察，发现解题思路，最终达到解决原问题的目的。

数学解题是一个把高阶复杂问题转化为低阶简单问题的过程，把繁复的问题转化成较简洁的问题以利于迅速找出问题的症结并各个击破。分类讨论、特例探路、着眼于极端情况、爬坡式推理都是典型的从简单开始的解题思路。

对数学知识的理解有时候也可以从简单开始，对初等、部分、具体、特殊（或极端）情况的考察，往往能够促进对高等、整体、抽象、一般问题的理解。

比如在课本《统计估计》一课中样本方差公式的分母取样本容量与 1 的差而不取样本容量，我觉得不自然，也曾百思不得其解。

不得已我从特殊情况开始想起：当样本容量为 1 时，如果样本方差公式中的分母取样本容量，这时每一个样本的方差都是 0，样本方差的期望值为 0，这样对总体方差的估计就是一个极不合理的有偏估计，而当样本方差公式中的分母取样本容量与 1 的差时，这时每一个样本的方差是不存在的，说明单个数据无法估计总体数据的离散程度，这时方差的分母取样本容量与 1 的差更为合理。

人们常用“冰冷”来形容公式，但对最特殊的情况的考察，让我看到公式冰冷的面孔后丰富多彩的故事。

从最简单开始有时并不是认识真理最便捷的途径，最初于我是被迫的，是不得已而为之。如今从简单开始已经成为我的思维习惯，是我掌握数学知识来龙去脉的最有效途径。

从简单开始，是一种数学教学方法 

虽然早就知道授之以鱼不如授之以渔，但因为太在乎学生的成绩，有时候我也很着急，恨不得将考试所能考到的所有难题，都给学生讲一遍。

在试卷分析课上我也曾抱怨：“这个题目，我前天上课刚讲过，你们有认真听吗？为什么有这么多同学做不出？”

在办公室里我也曾埋怨学生学不会，上课死气沉沉，学生只知道记而不会想，“ 谈什么举一反三，举一保一也做不到”。

痛定思痛，“把数学课上得简单些，使数学课拥有生机”成为我的教学追求。

在操作层面上，归纳为六个“简”和六个“立足”：

第一，课堂引入要简洁。

导语设计精练，方式灵活，时间紧凑，立足于激发学生的兴趣。

第二，选用例题要简明。

例题题意明了，方法典型，讲得明白，想得清楚，立足于激活学生的思维。一方面简单是数学的一种本质回归，最简单的问题往往蕴涵着最深刻的思想，另一方面正是因为源问题的简单，才能够为我们提供引申推广的空间。

第三，教师用语要简练。

每个 学生都不愿意仅仅通过被动接收老师发布的信息去学习数学， 谁都想要做主人。教师的讲永远代替不了学生的学，有时候教师教学过程中讲得越细越多，学生需要记忆的东西就越多，学生自主思考的主动性就越少。藏巧于拙，教师少讲或不讲，恰恰能让学生充分暴露思维过程，把思考的时间留给学生，把表达的空间还给学生，把成功的机会让给学生，更能激发学生主动学习的愿望。

要以学定教，课堂中老师重要的是听，了解哪些内容需要教师讲，哪些不需要教师讲，教师用语要单纯明快，词少意多，立足于引发学生的思考。

第四，总结归纳要简短。

立足于完善学生的认知结构，总结不是泛泛而谈，只有简短才有针对性，并利于记忆。

第五，技术运用要简朴。

发挥计算机快速运算、精确作图、动态模拟的功能，提高课堂效率，立足于促进学生的理解。

第六，问题解决从简单开始。

立足于让学生经历数学探究的过程。

教得简单是为了学得灵活，从简单开始可以形成更丰富的思维层次结构，更容易激发学生的学习热情，让更多的学生参与到数学活动中来。

从简单开始，是一种培育数学创新素养的教育理念

原闸北区芷江中路幼儿园以幼儿自主学习为核心的低结构活动带给我启发，引起我共鸣。芷江中路幼儿园的“目标内隐、活动开放、结果多元”的低结构教学活动，能够“让孩子表现自己，让教师发现孩子 。”

在普通高中，低结构的数学教学活动，是否也能在高中生的创新素养培育中“让学生展示自己的创新素养，让教师发现学生的创新品质”呢？

我曾遇到这样两位数学老师，一位是成熟的数学老师，在课上按照事先的预设一步一步实施知识教学，老师能预先料到学生课堂中提出的每一个问题，老师的最后一句话讲完正好下课铃声响起，似乎一切尽在老师的掌控之中。

另一位是年轻老师，上课经常出差错，一个意料不到的学生提问就打乱了他原先的预设流程，似乎让他不知所措，学生在课堂上的一 些想法往往比老师还高明。

考试结果出乎意料，成熟老师的学生考不过年轻老师的学生。前面那位成熟老师的课堂就是一种高结构教育活动，老师控制整个课堂的流程与走向，重视知 识的内在逻辑，其优势是能在较短的时间内富有系统性地完成学科教学。

后面这位年轻老师的课堂，具有低结构教育活动的雏形，课堂教学氛围民主、开放，依赖学生的类似原生态下的发现和生成实现教育目标，其优点是学生的自主学习得到充分保障。

“高中数学微创新”是我在市北中学开设的一门选修课， 尝试从简单开始用低结构教育活动培育学生的创新素养。

在选修课中，教学活动是从学生或老师提出的问题出发而形成的动态、开放的过程，我有意识地忽视学科知识的系统性，重视下列创新思维的养成：

一是质疑。疑问是学习新知识、产生新思想、发现新观点的起点。用甲方法得到A，用乙方法得到B， A 与 B 矛盾，甲、乙方法中必有一种是错的。

二是类比。类比是根据两个对象有一部分属性相似，推断这两个对象另外的 一些属性也相似，是一种从特殊到特殊的合情推理方法。对象 A 具有属性 a、b、c、d，联想到对象 B 也具有属性 a、b、c， 对象 B 也许也具有属性 d ？

三是归纳。归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式。设Mi（i＝1， 2，⋯⋯，n）是要研究对象 M 的特例或子集，M1 具有性质 P， M2 具有性质 P，⋯⋯，Mn 具有性质 P，猜想 M 中的其他元素也具有性质 P。

四是考虑逆向问题。在解决了原问题，并对原问题有足够的了解的情况下，去考虑逆向问题。具有性质 A1, A2, A3,⋯⋯的事物具有性质B，具有性质B, A2, A3,⋯⋯的 事物也具有性质A1吗？

五是从不同的角度看问题。从不同的角度看问题，答案往往不止一个。已知真命题若 A 成立则 B 成立，那么是否有比 A 弱的条件使 B 也成立？若 A 成立，是否能得到比 B 更强的结论？是否有多种策略，由 A 到 B ？好的数学开放题能够给学生提供多种视角，是培养学生发散性思维的很好的载体。

如在一节课中，我将一个不等式删去右边的代数式，将另一个不等式删去一个条件，要求学生自己补成两个正确的恒不等式。这样做使问题的起点变低，思维层次变多，答案变得不唯一，策略变得多样化，就使学生很容易“下手”，课堂教学活动也从高结构变为低结构，由封闭变为开放，从教证明变为学发明。看到学生如数学家般编制出一个个不等式，让学生体会到创造的喜悦，应该是这节课最大的成功。

《简单》，是我们自己创办的数学杂志

2009年12月，市北中学第一本学生数学刊物《简单》创刊了。 学习数学的兴趣总是和成功的喜悦紧密相连的，如独立地解决一道数学难题、作出一个数学猜想、想出一种新的解题方法等，都能使学生从这些“成功”中体验到创造的喜悦，激发起更高的学习热情。

我鼓励学生将数学学习中的感悟以小论文的形式记录下来，学生自己写稿、审稿、编辑、排版，编辑成《简单》。杂志中有数学小论文、数学小说、数学游 戏攻略等等，文章虽然“简单 ”，但都有学生自己的想法，对学生本人来说是一种创新，这些创作能唤起同学们对数学问题的思考。

姜同学就是通过为《简单》写稿成长起来的学生，她关于幻方的论文的第一稿写了满满六页纸，很是得意，但我要求她重写，理由是“这些填图方法别人都有了，你的文章中一定要有自己的想法 ”。一定要让人看到她独特的想法，她的文章的方向从介绍幻方的填法转到探索确定一个幻方的条件，内容也从六页到四页，最后定稿为两页，惜墨如金、字字斟酌，在一次次痛苦中完成了第二稿、第三稿，直到第六稿，最终被中学数学核心期刊《数学教学》刊用。

她说：“有一天中午当我和几位同学探讨在论文中占有整整一页纸分量的性质五的证明时，我突然发现，那个曾一面临数学难题便唯唯诺诺，只待在一边倾听讲解的普通女生敢于和班中数学高手大声讨论了。”

陈同学在高中阶段写了两篇论文，第一篇是《简单》第一期的第一篇，第二篇是《简单》第二期的第一篇。他的第二篇论文，在全球582个参赛队中脱颖而出，获得第三届丘成桐中学数学奖唯一的金奖。

在获奖感言中，他说：“有人觉得数学枯燥，而我沉醉于突然有了想法时那电光石火的一瞬所带来的快乐。”《简单》记录着学生对数学单纯的热爱。我这么想，给学生的数学教育不只是为了眼前的考试，还有数学带来的诗与远方。

（作者系上海市数学特级教师，上海市市北中学校长助理）