一、区分知识与素养

（一）数学有用与无用

有很多人认为数学很重要、很有用，但是同样也有很多人害怕数学，质疑数学在生活中的作用。即使是每天和数学打交道的数学教师，不少人都感到困惑。

有位教师说：“我除了教数学，还能干什么？”言下之意，他所学的数学，除了教学生应付考试之外，毫无用处。

一位教师给学生讲数学的重要性，举例说：“最近买房，是贷款20年划算，还是贷款30年划算？是等额还款划算，还是等本还款划算？考虑我的工资收入以及工资涨幅，还有通货膨胀，我算了好几天，觉得省了不少。”这时，有学生说：“我家里有五套房。”教师和学生谈数学的重要性，学生却和教师说房子的重要性，说明教师的认识和阐述不到位、没有说服力，不能让学生理解和接受。

国外的调研表明，大多数人认为在工作生活中用到的只是简单的小学数学。对此，如果不服气，可以做一个试验：让你的学生家长（或亲戚、朋友）回忆最近一星期的工作和生活中用到了哪些数学？四则运算、二次函数、三角函数、微积分……可以把从小学到大学主要的数学知识点列一下，让它们勾选，看结果如何。

既然这么多人对数学的有用性提出质疑，那么就要去想一想为什么会这样。事实上，这是因为他们将具体的数学知识和更抽象的数学素养相混淆了。

米山国藏有一段叙述，流传很广：学生在学校学习的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了；然而，不管他们从事什么工作，那种深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。

        曹亮吉教授的一个观点，我很赞同：学数学学什么？从实用的角度来说，是算术以及一点点几何与代数；从考试角度来说，是背诵、套用公式，做各种计算；但是如果换个角度看，万事万物无不隐藏着数与形以及数与形的模式。把学习数学的眼界，从纯粹的数与形以及狭义的规则与定律提升到隐藏于万事万物中的数与形以及广义的规则与定律（模式），数学便不再是枯燥抽象的，而是似乎很有用、但不知用在哪里的知识。经过发现、转化、解题、沟通以及评析等种种步骤，把数学与生活以及其他学习领域合在一起，数学才能变得具体而有用。

        数学知识可能用得少，但是数学素养时时影响着我们。

        （二）科学精神和数学核心素养

        学生的核心素养，是指“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力”。它综合表现为九大素养：社会责任、国家认同、国际理解；人文底蕴、科学精神、审美情趣；身心健康、学会学习、实践创新。具体到各个学科，还有各自独特的核心素养。

        其中的科学精神，是指个体在学习、理解、运用科学知识和技能等方面表现的价值标准、思维方式和行为规范。它包括三个方面：（1）崇尚真知——重点是学习科学技术知识和成果；掌握基本的科学方法；有真理面前人人平等的意识等。（2）理性思维——重点是尊重事实和证据，有实证意识和严谨务实的求知态度；逻辑清晰，能够运用科学的思维方式认识事物、解决问题、规范行为等。（3）勇于探究——重点是有百折不挠的探索精神；能够提出问题、形成假设，并通过科学方法检验求证、得出结论等。可以说，科学精神是与数学核心素养关系最为密切的综合核心素养。

        具体到数学核心素养，也是三个方面（六个关键词）：（1）用数学的眼光观察世界，发展数学抽象、直观想象素养。（2）用数学的思维分析世界，发展逻辑推理、数学运算素养。（3）用数学的语言表达世界，发展数学建模、数据分析素养。需要指出的是，数学核心素养虽然被划分为三个方面（六个关键词），但是实则是一个整体。用数学的眼光观察世界，即人从外界输入信息；用数学的思维分析世界，即人自身处理信息；用数学的语言表达世界，即人向外界输出信息。

        数学核心素养是数学课程目标的集中体现。现实的问题是，考试的高压使得教学的绝大多数时间都花在应试上，对学生素养的培养关注较少。笔者认为，对于学生素养，只要教师加以重视，选取合适的教学案例，采用探究的眼光，就无须另外增加课时专门培养，而在日常教学中完全可以逐步渗透。

        二、通过案例理解素养

        （一）数学抽象：龟兔赛跑与函数、不等式

数学抽象是指，舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征。

龟兔赛跑的故事是我们很熟悉的。兔子本来跑在前面，但是由于骄傲，路上睡了一觉，结果输给了乌龟。作为文学作品，当然要大力渲染兔子的骄傲自满、乌龟的坚持不懈等行为、态度上的具体细节。而从数学角度来看，则可抽象为如图1所示的行程图。